Akustische Phonetik - Vertiefung
Fourier-Reihe

Der allgemeine mathematische Ausdruck für die Fourierreihe lautet:

              oo                          oo
             ---                         ---
             \                           \ 
s(t) = b  +  /    a  sin(2PI f k t)  +   /    b  cos(2PI f k t)
        0    ---   k          0          ---   k          0 
             k=1                         k=1

s(t) : periodisches Zeitsignal
f    : Grundfrequenz
 0

Dabei beschreibt 

b
 0
den Gleichanteil oder Offset der Schwingung, also einen konstanten Anteil, der keine Schwingung darstellt, sondern lediglich das gesamte Niveau der Schwingung über der Nulllinie anhebt oder absenkt.
Die Faktoren 
a   b 
 k   k
beschreiben den Einfluß der einzelnen Schwingungsanteile, die alle Vielfache (Faktor k!), also Harmonische der Grundfrequenz 
f
 0
sind.

Diese Faktoren kann man aus jedem beliebigen periodischen Zeitsignal s(t) mittels folgender Integrale bestimmen:

           2PI
      1    /
b  = ---   |  s(2PI f t)
 0   2PI   /         0
          0

           2PI
      1    /
a  = ---   |  s(2PI f t)  sin(2PI k f t)
 k   2PI   /         0               0
          0

           2PI
      1    /
b  = ---   |  s(2PI f t)  cos(2PI k f t)
 k   2PI   /         0               0
          0

Als Beispiel seien hier die Faktoren einer Rechteckschwingung mit Amplitude 1 und Grundfrequenz 100 Hz als Fourierreihe bis zur dritten Oberwelle wiedergegeben:

a  =  1.244
 1
a  =  0
 2
a  =  0.33
 3
a  =  0
 4
a  =  0.16
 5
b  =  0
 1
b  =  0
 2
b  =  0
 3
b  =  0
 4
b  =  0
 5

Grundschwingung, 3. und 5. Oberwelle

Grundschwingung 100Hz

3. Oberwelle 300Hz

5. Oberwelle 500Hz

Überlagerung ergibt angenäherte Rechteckschwingung

Wie man sehen kann, sind nur drei Faktoren ungleich Null. Das addierte Signal kommt einer Rechteckschwingung schon sehr nahe.

Copyright © 1995 Institut für Phonetik und Sprachliche Kommunikation, Universität Müchen
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Florian Schiel