proben <- function(unten=1, oben = 6, k = 10, N = 50)
{
# default: wir werfen 10 Wuerfel 50 Mal
alle <- NULL
for(j in 1:N){
ergebnis = mean(sample(unten:oben, k, replace=T))
alle = c(alle, ergebnis)
}
alle
}


# 1. Ich kaufe 10 Wuerfel von einem Spielwarengeschaeft, 
# werfe sie und berechne den Mittelwert. 
# Der Mittelwert ist 4.7. 
# (a) Ist der Wert ungewoehnlich - d.h. koennten die Wuerfel gezinkt sein? 
# (b) berechnen Sie ein 95% Konfidenzintervall fuer den Mittelwert. 
mu = mean(1:6)
mu

SE = sd(1:6) * sqrt((length(1:6)-1)/(length(1:6))) / sqrt(10)

qnorm(0.025,mu,SE)
qnorm(1-0.025,mu,SE)
qnorm(1-0.025,mu,SE) < 4.7  #TRUE

# (c) Erklaeren Sie in Worten, was ein Konfidenzintervall bedeutet. 
# Das Konfidenzinterval ist jener Bereich, der 95 % der wahrscheinlichsten Mittelwerte umfasst,
# was der Fläche 0.95 unterhalb der Normalverteilungskurve entspricht, wobei hiervon
# 0.475 links und 0.475 rechts von mu zu finden sind. D.h. die 5% der unwahrscheinlichsten Mittelwerte 
# müssen ausgeschlossen werden, d.h. 2.5% der niedrigsten Werte und 2.5% der höchsten Werte (da deren auftreten
# eben unwahrscheinlich ist). Beide Flächen sind bei einem bestimmten x erreicht
x1 = qnorm(0.025,mu,SE)
x2 = qnorm(1-0.025,mu,SE)
x1 #2.441498
x2 #4.558502
#Das 95%-Konfidenzintervall ist hiermit in diesem Fall 
# der Bereich zwischen 2.44 und 4.56. 
# (d) ueberlegen Sie noch einmal Ihre Antwort zu (a). 
#Da 4.7 größer ist als 4.56, liegt dieser Mittelwert ausserhalb des 95% Konfidenzintervalles,
# und sein Auftreten ist recht unwahrscheinlich - und somit "ungewöhnlich".

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# 2. Ich ziehe 350 Mal fuenf Ganzzahlen zwischen (inklusive)
# -20 und +20 aus einem Hut und berechne davon den Mittelwert 
# (und tue sie nach jeder Berechnung wieder in den Hut hinein). 
# Was ist mu, was ist SE?

mu = mean(-20:20)

SE = sd(-20:20) *sqrt(40/41) / sqrt(5)

#man beachte: length(-20:20)=41 !!!!

# (a) Fuehren Sie diesen Vorgang in R durch (mit proben() )
# um 350 solche Werte zu bekommen. 
# Machen Sie ein Histogramm davon, und ueberlagern Sie
# die entsprechende Normalverteilung.

o = proben(unten = -20, oben = 20, k = 5, N = 350)

hist(o,freq=FALSE)
curve(dnorm(x, mu, SE), add=T)

# (b) Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass der 
# Stichprobenmittelwert in den Bereich ±10 faellt?
# (also mehr als -10 oder weniger als +10)?

pnorm(-10,mu,SE)
pnorm(10,mu,SE)

#also
pnorm(10,mu,SE) - pnorm(-10,mu,SE)
#94.1%


#(c) Setzen Sie ein 95% Konfidenzintervall fuer den
# Stichprobenmittelwert wenn Sie 
# (i) 5 Ganzzahlen aus dem Hut ziehen wie oben 
# (ii) 15 Ganzzahlen aus dem Hut ziehen.
#(i)
qnorm(0.025,mu,SE)
qnorm(1-0.025,mu,SE)
#Von -10.37115 bis 10.37115

#(ii)
#ein neuer SE wird benötigt:
SE = sd(-20:20) *sqrt(40/41) / sqrt(15)
qnorm(0.025,mu,SE)
qnorm(1-0.025,mu,SE)
#ist schmäler geworden: von -5.987789 bis 5.987789

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# 3. Auf der Basis frueherer Studien wurde
# mu = 100 Hz und SE = 15 Hz fuer die Grundfrequenz (f0)
# in maennlichen Stimmen eingeschaetzt.
# Wieviele aus einer Gruppe von 50 Maennern muessten laut
# diesem theoretischen Modell eine f0 (a) unter 80 Hz 
mu = 100
SE = 15

pnorm(80,mu,SE)
# das ist aber eine Wahrscheinlichkeit, daher Anzahl errechnen per
pnorm(80,mu,SE) * 50 #4.560561, also "vier bis fünf"
#(b) 
# zwischen 110 und 125 Hz haben?
(pnorm(125,100,15) - pnorm(110,100,15)) * 50
#10.23511 also ungefähr zehn

# (c) Ab welchen f0-Wert wird 1/10 der Bevoelkerung mit den 
# hoechsten Grundfrequenzwerten eingeschlossen?
qnorm(0.9,100,15)
#119.2233 --> ab circa 119 Hz